Dividiendo por cero – Parte II

Había comenzado a escribir un comentario en el Post Dividiendo por cero en respuesta a algunas observaciones que hizo un alumno, pero me pareció que tenía mucha riqueza como para dejarlo perdido entre los comentarios. Lo que se plantea, tanto en el post como en los comentarios son errores que cometen la mayoría de los estudiantes, es por esto la importancia que le otorgo.

Antes que nada quiero disculparme con Sebastián por ponerlo como ejemplo de los errores que vamos a analizar (antes que a él ya le tocó al dueño del parcial).
Fundamentalmente quiero destacar su participación en el blog y que a raíz de ella han surgido publicaciones como ésta. Sería muy bueno si fueran más los que participen, de ese modo ¡cuánto nos enriqueceríamos! TE FELICITO Sebastián.

Es también importante señalar que ésta es otra forma de comunicarnos, en la que se debe escribir lo que se quiere transmitir, esto conduce a que tengamos que ser lo más claros y explícitos posibles para que los otros reciban el mensaje sin distorsiones, más aún cuando hay un lenguaje simbólico y no disponemos del medio adecuado para escribirlo y en esto Sebastián también mostró sus habilidades.
Estoy segura que participar en este espacio les permitirá desarrollar ciertas destrezas que les serán muy útiles.

Retomando el caso de los errores, copio el comentario de Sebastián para que puedan comprenderlo mejor, y para los que no leyeron, les recomiendo que lean previamente Dividiendo por cero y sus primeros comentarios.

"hola profe, me quedé con la duda sobre este tema, luego de revisar un poco la carpeta de teoría, vi que podían ser dos problemas factibles; pero no estoy seguro.
Aclaro que el símbolo != significa distinto de.

1) Según el ejercicio, nos pide que verifiquemos si posee divisores de cero; por lo que el alumno "parte" mal desde el comienzo en el sentido de que dice:" posee divisores de cero?" y pone: A.B=0 ^ A !=0 (A distinto de cero) ==> B=0 esta definición es la de SIN DIVISORES DE CERO.
la def real seria: A.B=0 ==> A !=0 ^ B!=0.

2) el otro posible error que veo, en caso de que mi primera corrección fuera incorrecta; es que cuando realiza la multiplicación de las matrices A y B, concluye con que
(a !=0 v b !=0) ==> (a'=0 ^ b'=0)

a partir de esto, ( a ) puede ser cero o ( b ) puede ser cero; y como en la ecuación final en el denominador solo tenemos 0-0/a^2 , no podríamos decir que a !=0. porque (b) podría haber sido distinto de cero, por lo que (a) es cero."

Analicemos cada punto:

1) Es cierto que el alumno no es claro en su desarrollo, ya que se pregunta si "posee dividores de cero" y emplea la expresión correspondiente a "sin divisores de cero", de todas maneras cualquiera de las dos expresiones es válida y nos debe conducir al mismo resultado. Para analizar este punto debemos recurrir a la Lógica.

Queremos ver si el anillo dado posee o no divisores de cero. Partimos de la definición:

Por lo tanto, cuando el alumno parte de ese bicondicional no comete error ya que si resulta que no se verifica q, se desprende que no se verifica p (no posee divisores de cero). Por otra parte:

y no es como lo dice Sebastián:

la def real seria: A.B=0 ==> A !=0 ^ B!=0 (repasen la negación de un condicional)

¿Observan que como dije en el post anterior, muchas veces confunden las operaciones lógicas?

2) Observemos la expresión, para el caso del anillo de matrices dado en el ejercicio en cuestión:

Del antecedente de este condicional, se desprende que el producto de las matrices es la matriz nula (lo que se traduce en un sistema de ecuaciones lineales homogéneo) y que al menos uno de los números reales “a” , “b” son no nulos.
El determinante de la matriz de coeficientes del sistema que surge de A.B = 0 es a² ¿podemos decir que es distinto de cero?

En realidad no ya que a y b pueden asumir cualquier valor real, la única condición es que no sean simultáneamente nulos.

Para el caso que a = 0, el determinante de la matriz de coeficientes es cero y por lo tanto dicho sistema admite otras soluciones además de la trivial.