Apenas comenzaron las clases y antes de que publicara el post sobre el inicio de las actividades, un alumno de este año escribió un comentario realizando algunas consultas. Entre otras cuestiones, quería conocer mi opinión sobre el Teorema de Incompletitud de Gödel y el último Teorema de Fermat
Si bien es cierto ambos no pertenecen al campo del Álgebra Lineal pero como forman parte del conocimiento matemático es que me pareció interesante escribir algo al respecto para compartirlo entre todos.
Dar una descripción de estos teoremas, el contexto en el que surgen y las consecuencias generadas por sus resultados, que son por demás interesantes, sería extenderse en demasía. Haré una breve reseña y algunas consideraciones analizando cada uno de los teormas en diferentes posts.
Comencemos con Gödel y su teorema de la incompletitud.
Se considera a Kurt Gödel como el lógico más importante del siglo XX por su gran aporte a la lógica matemática. Es principalmente conocido por el Teorema de Incompletitud (1931), resultado que revolucionó la lógica del siglo XX.
Hasta ese momento las distintas ramas de la matemática, incluyendo la aritmética, habían venido explotando con gran energía el método axiomático, esto respondía a la opinión generalizada de que era posible tener un conjunto de axiomas suficientes para desarrollar sistemáticamente la totalidad de las proposiciones verdaderas respecto de un campo de investigación.
Gödel echó por tierra estas ideas y más de un siglo de intentos de desarrollar una fundamentación de la matemática basada en los sistemas axiomáticos como instrumentos. Su teorema de incompletitud según el cual, “ningún sistema formal puede ser, a su vez, consistente y completo” proporcionó a los matemáticos la conclusión de que el método axiomático posee limitaciones que impiden axiomatizar completamente cierta clase de sistemas deductivos, como por ejemplo el de la aritmética. En otras palabras un sistema de este tipo o resultará insuficiente para derivar todos los postulados o bien será inconsistente.
Un rasgo sobresaliente de sus resultados, como lo muestra el argumento que él mismo utiliza en su demostración, es que la capacidad creativa de la mente para hallar nuevas reglas de prueba no debe limitarse y por lo tanto no es posible determinar la forma lógica precisa que deben tener las demostraciones lógicas válidas.
Las conclusiones de Gödel dejan también instalada la idea de que las máquinas de calcular no pueden equipararse a la inteligencia matemática del hombre. Estas proporcionan respuestas a problemas por medio de un conjunto de instrucciones y reglas fijas de inferencia que controlan de una forma sistemática el proceso, pero según el teorema de incompletitud, hay problemas para los cuales no existen soluciones establecidas por ningún conjunto de reglas o procedimientos y que por lo tanto no puede resolver una máquina.
El hombre se ha preguntado, ha especulado e incluso ha fantaseado con el hecho de que las máquinas puedan superarlo en inteligencia. A la luz de lo probado por Gödel y según el diseño de las máquinas actuales, esto no es posible.
Pero….más allá de la matemática, la historia de la ciencia en general, ha mostrado a través de los siglos que algunas teorías que se tomaron como verdades absolutas fueron luego refutadas o bien se construyeron teorías paralelas.
Si bien es cierto ambos no pertenecen al campo del Álgebra Lineal pero como forman parte del conocimiento matemático es que me pareció interesante escribir algo al respecto para compartirlo entre todos.
Dar una descripción de estos teoremas, el contexto en el que surgen y las consecuencias generadas por sus resultados, que son por demás interesantes, sería extenderse en demasía. Haré una breve reseña y algunas consideraciones analizando cada uno de los teormas en diferentes posts.
Comencemos con Gödel y su teorema de la incompletitud.
Se considera a Kurt Gödel como el lógico más importante del siglo XX por su gran aporte a la lógica matemática. Es principalmente conocido por el Teorema de Incompletitud (1931), resultado que revolucionó la lógica del siglo XX.
Hasta ese momento las distintas ramas de la matemática, incluyendo la aritmética, habían venido explotando con gran energía el método axiomático, esto respondía a la opinión generalizada de que era posible tener un conjunto de axiomas suficientes para desarrollar sistemáticamente la totalidad de las proposiciones verdaderas respecto de un campo de investigación.
Gödel echó por tierra estas ideas y más de un siglo de intentos de desarrollar una fundamentación de la matemática basada en los sistemas axiomáticos como instrumentos. Su teorema de incompletitud según el cual, “ningún sistema formal puede ser, a su vez, consistente y completo” proporcionó a los matemáticos la conclusión de que el método axiomático posee limitaciones que impiden axiomatizar completamente cierta clase de sistemas deductivos, como por ejemplo el de la aritmética. En otras palabras un sistema de este tipo o resultará insuficiente para derivar todos los postulados o bien será inconsistente.
Un rasgo sobresaliente de sus resultados, como lo muestra el argumento que él mismo utiliza en su demostración, es que la capacidad creativa de la mente para hallar nuevas reglas de prueba no debe limitarse y por lo tanto no es posible determinar la forma lógica precisa que deben tener las demostraciones lógicas válidas.
Las conclusiones de Gödel dejan también instalada la idea de que las máquinas de calcular no pueden equipararse a la inteligencia matemática del hombre. Estas proporcionan respuestas a problemas por medio de un conjunto de instrucciones y reglas fijas de inferencia que controlan de una forma sistemática el proceso, pero según el teorema de incompletitud, hay problemas para los cuales no existen soluciones establecidas por ningún conjunto de reglas o procedimientos y que por lo tanto no puede resolver una máquina.
El hombre se ha preguntado, ha especulado e incluso ha fantaseado con el hecho de que las máquinas puedan superarlo en inteligencia. A la luz de lo probado por Gödel y según el diseño de las máquinas actuales, esto no es posible.
Pero….más allá de la matemática, la historia de la ciencia en general, ha mostrado a través de los siglos que algunas teorías que se tomaron como verdades absolutas fueron luego refutadas o bien se construyeron teorías paralelas.
¿Qué opinan?
Como alumnos de una carrera de informática, resultaría muy interesante y provechoso que puedan ampliar estos conceptos y que los discutamos. Les acerco algunos enlaces desde los que pueden obtener mayor información y algunas opiniones.
espero comentarios y aportes ; )
hola, mi nombre es mariano salerno, estudio Ing Electronica en la universidad de tucuman, y me intereso el articulo sobre la relacion entre las matematicas y la informatica;y en especial sobre la influencia que se espera tengan las maquinas sobre el hombre.
Lei algo sobre Godel en algunas paginas de internet, y pude comprobar que fue el precursor de la nueva logica y la manera en que los matematicos comenzaron a ver la matematica desde el punto de vista metamatematico. Difiero en este articulo, sobre el hecho que godel con sus demostraciones y teoremas conlleve a deducir que un ordenador no pueda alcanzar o superar la inteligencia humana.
estoy de acuerdo en que las maquinas de HOY, no alcanzan el grado de inteligencia humana, inclusive ninguna de ellas supero el test de Turing, por lo tanto no podemos afirmar eso, pero pienso que las maquinas nos pueden superar en un par de años.
saludos,
hola,me intereso tambien este dilema de el hombre con las maquinas y las matematicas.
Siguiendo el tema de Godel sobre su teorema, tengo un libro (autor Ray Kurzweil) de informatica en donde se habla del mismo Godel y algunas conjeturas.En principio cuando russell y whitehead relanzan las matematicas en terminos de su teoria de conjuntos y de la logica con su obra Principia Mathematica, logran que las matematicas pasaran a ser parte de la informatica hasta hoy; las ideas de russell en su obra no hablaban de ordenadores, pero basaron las ideas, las cuales iban a ser adquiridas por Alan Turing para crear el primer ordenador teorico en 1936 llamado Maquina de Turing; Esta maquina produjo algunos desafios de todo tipo. Turing y su ex profesor Church afirmaron que si un problema que se pueda presentar a una maquina de turing no es solucionable para esta, tampoco lo sera para el pensamiento humano; esta afirmacion se basaba en que el cerebro humano esta sometido a la ley natural y por lo tanto su capacidad para procesar informacion NO puede superar al de la maquina.
Estos dichos fueron nuevamente discutidos cuando Godel dio a conocer su teorema de la incompletitud. Hay muchos argumentos sobre la imposibilidad teorica de que las maquinas compitan en todos los aspectos con los seres humanos. Uno de los argumentos mas interesantes es el de ROGER PENROSE matematico y fisico de Oxford; en su libro " The emperor's New Mind" penrose propone dos conjeturas, las cuales la 1ª esta relacionada con el teorema de incompletitud de Godel, lo importante de esto es que segun un corolario del teorema de Godel es que hay proposiciones matematicas que no se pueden decidir mediante un algoritmo, ya que la solucion requiere una cantidad infinita de pasos; de modo que la primera conjetura de penrose es que las maquinas no pueden hacer lo mismo que los hombres porque solo pueden obedecer a un algoritmo y un algoritmo no puede resolver un problema godeliano, pero los seres humanos si pueden, por lo tanto los seres humanos son mejores ( penrose se basaba en que el cerebro humano es capaz de computacion cuantica) sin embargo esta conjetura no es convincente por varias razones:
1) es cierto que las maquinas no pueden resolver los problemas irresolubles de godel, pero los seres humanos tampoco pueden resolverlos, solo evaluarlos; y los ordenadores tambien pueden hacer evaluaciones y en los ultimos años han demostrado ser mejores que la de los seres humanos.
2)En el caso de que el cerebro humano manifieste computacion cuantica, eso no limitaria la compùtacion cuantica de las maquinas, todo lo contrario , eso confirmaria que la computacion cuantica es posible-
Por ultimo basandonos en la creadora de la inteligencia humana, es decir, la evolucion; la cual como sabemos es magnifica,y creadora de diseños muy complejos; pero tambien poseedora de un defecto: es lentisima. si bien ha creado diseños notables, ha empleado para ello un tiempo extremadamente largo, es por ello que la evolucion creo una especie (los seres humanos) capaz de sofisticar creaciones en un periodo relativamente corto de solo unos milenios, con lo que finalmente nuestras maquinas (creaciones) igualaran y superaran la inteligencia humana. Los seres humanos habran batido ampliamente a la evolucion, consiguiendo lo mismo o incluso mas de lo que esta consiguio en millones de años.Asi la inteligencia humana producto de la evolucion es mucho mas inteligente que su creadora.
Y del mismo modo la inteligencia que estamos creando ahora(inteligencia artificial) llegara a superar la inteligencia de su creador(humana).
Esto no ocurre hoy, pero segun la ley de la aceleracion de los resultados ocurrira muy pronto, incluso en vida de la mayoria de los seres de hoy.
2)
Tengo algunas cosas para decir, pero espero más comentarios. Supuse que siendo alumnos de carreras de infórmática se sentirían atraídos a debatir sobre este tema.
¿Qué opinan?