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Blog educativo destinado a los alumnos que cursan Álgebra II de las carreras del Profesorado en Informática y Licenciatura en Sistemas de Información en la Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías de la Universidad Nacional de Santiago del Estero – Argentina.


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de la asignatura.

Finalizando ya el dictado de la asignatura, nos acercamos al 3º parcial. Si llegaron hasta aquí, significa que son capaces de regularizar la materia, entonces no decaigan ni se duerman en los laureles, es hora de redoblar esfuerzos para alcanzar la meta. Ustedes son capaces.

Les aconsejo que repasen la teoría y realicen toda la ejercitación posible.

Y recuerden: Nunca piensen que la ejercitación que han realizado es suficiente, siempre hay algo más para aprender

A continuación les indico algunas páginas de Internet que contienen ejercicios sobre los temas que se tomarán en el parcial.

  • Enlace 1 : página que contiene algunos conceptos teóricos y ejercicios con su respuesta de transformaciones lineales, matriz asociada a una transformación lineal y diagonalización de matrices. (Aclaración: algunos autores denominan Kernel al núcleo de una transformación lineal y nulidad a su dimensión).
  • Enlace 2: Práctica de transformaciones lineales del Departamento de Matemática de la Universidad de Alcalá - España.
  • Enlace 3: Página con ejercicios resueltos de transformaciones lineales.
  • Enlace 4: Conceptos teóricos de valores y vectores propios (autovalores y autovectores) en wikipedia y la descripción de algunas aplicaciones.
  • Enlace 5: Ejercicios y problemas de valores propios, vectores propios y diagonalización de matrices.
  • Enlace 6: Ejercicios propuestos de valores propios y vectores propios y diagonalización de matrices


Recuerden que los docentes y ayudantes estudiantiles de esta cátedra tenemos disponibles horarios de consulta y este blog es también un medio para hacerlo, no desaprovechen estas posibilidades.

Siempre los esperamos.

la profe María Inés

58 comentarios

  1. Anónimo // 17 septiembre, 2008  

    recien descubro este blog, en unos dia rindo el final, seguramente me va a ser de mucha ayuda, se agradece

  2. Anónimo // 09 diciembre, 2008  

    excelente trabajo, gracias a el me gradue como ingeniero en refrigeracion y empuje

  3. Anónimo // 13 diciembre, 2008  

    nice surprise
    though i gotta say i'm still learning about using my blog
    so... that's it
    at least for now


    on a bite


    D.P.

  4. Gonzalo // 18 diciembre, 2008  
    Este blog ha sido eliminado por un administrador de blog.
  5. Anónimo // 02 enero, 2009  

    Recién encuentro este blog y está buenísimo. Yo estudio profesorado de Física en Rivera, Uruguay y me sirve mucho para el examen de Álgebra Lineal. Gracias, buen año!
    Saludos!
    Richard

  6. Rodolfo // 17 enero, 2009  

    que bueno el blog. yo estudio en la universidad nacional de tucuman, y curse esta materia. ahora tengo que rendir el final y me va a servir mucho.
    gracias!

  7. Anónimo // 04 mayo, 2009  

    hola profe como anda???
    muy bueno el blog... soy alumno de LSI de la universidad nacional y tengo poca informacion sobre lo que es una proyeccion ortogonal.

    y mis dudas son acerca de la interpretacion geometrica, como debo encarar eso para estudiar...

    gracias!! un saludo

  8. María Inés Morales // 06 mayo, 2009  

    Hola Anónimo y perdón por no responder rápidamente a tu consulta, lo que ocurre es que muchas veces no dispongo del tiempo necesario.
    Lo que vemos en esta asignatura respecto al tema que mencionas es proyección de un vector sobre otro para luego aplicarlo en el proceso de Gram-Schmidt. Si tus dudas tienen que ver con la interpretación geométrica, preparé una pequeña nota que te ayudará. La puedes ver, haciendo click en:

    Proyección de un vector sobre otro

     
    Espero que te sea útil ;)
    Saludos y gracias por visitar el blog.

  9. Migue Flores // 16 mayo, 2009  

    Hola, buscando informacion sobre transformaciones lineales, descubri esta pagina y es interesante.
    Yo queria consultar una cosa, porque este lunes 18 de mayo rindo un control de algebra, y tenia un par de dudas!
    Que son las transformaciones lineales con cizalladura?
    Cuando un T.L. es inyectiva y sobreyectiva.?
    y Si podria ayurme a enteder este ejercicio:
    T:R3_____R4 definida por T(x,y,z) = (x-y,0,-y+z,x-2z)
    Me da como respuesta que el nucleo es: N(t) = {(x,y,z) / x/2 =y=z} = recta de R3
    y su imagen es: R(t) = {(x,y,z,t) e R4 / y=0} hiperplano de R4.
    Porque???.
    Bueno si puede responder antes del lunes genial!. Saludos.

    Migue

  10. juan pablo // 20 mayo, 2009  

    ups lo de arriba no es una TL... porke no cumple con esa condicion asi que estaria malo de raiz

  11. María Inés Morales // 22 mayo, 2009  

    Perdón Migue por no responder con la urgencia que necesitabas, de todos modos intentaré evacuar tus dudas que pueden ser también las dudas de otros.
    En primer lugar debo aclarar a Juan Pablo, que T: R3--->R4 definida por T(x, y, z)= (x-y, 0, -y+z, x-2z) si es una transformación lineal, basta con probar que para todo (x,y,z), (x', y', z') de R3 y para todo escalar k de R:
    T((x, y, z) + (x', y', z') ) = T(x, y, z) + T(x', y', z')
    y T( k(x, y, z) ) = k T(x, y, z)
    Una transformación lineal es esencialmente una función por lo que es posible usar las definiciones tanto de función inyectiva como de función sobreyectiva para determinar de qué tipo es la transformación lineal dada. Pero al tratarse de transformaciones lineales tenemos otra alternativa, por ejemplo usar la condición necesaria y suficiente para que una transformación lineal sea inyectiva.

    Resumiendo, podemos emplear lo siguiente:
    Sea T: V ---> W una transformación lineal:
    * T es inyectiva si y solo si N(T) = {0v}
    (sólo para transformaciones lineales)
    Además:
    * T es sobreyectiva si y solo si Im(T) = W (Im es el conjunto imagen)

    luego si hallas el núcleo y la imagen de T puedes determinar si T es inyectiva y/o sobreyectiva.

    Para obtener el núcleo de una transformación lineal debemos buscar aquellos vectores del primer espacio (R3), cuya imagen es el vector nulo del segundo espacio (R4), así:
    N(T) = {(x, y, z) de R3 / T (x, y, z) = (0,0,0,0)} = {(x, y, z) de R3 / (x-y, 0, -y+z, x-2z) = (0,0,0,0)},
    luego (x, y, z) pertenece al núcleo si satisface la igualdad (x-y, 0, -y+z, x-2z) = (0,0,0,0)
    por igualdad de cuaternas ordenadas se tiene:

    x - y = 0 -------> x = y
    0 = 0
    -y+z=0 --------> z = y
    x-2z =0 --------> z = x/2

    lo que conduce a: x = y = z = 0 luego el N(T) = {(0, 0, 0, 0)}y es una transformación lineal inyectiva.
    Evidentemente hay un error en la transformación lineal dada o en el resultado del núcleo. Una transformación lineal que arroje los resultados que indicas sería por ejemplo: T(x, y, z) = (x-2y, 0, -y+z, x-2z), en ese caso y con el mismo procedimiento obtendrías el núcleo mencionado, pero la transformación no sería inyectiva.

    Ahora bien, presta atención a lo que he marcado con azul en el conjunto N(t) = {(x, y, z) / x/2 = y = z}, se trata de las dos ecuaciones cartesianas de una recta en R3 , luego el N(t) es el conjunto de puntos de dicha recta.

    Para hallar el conjunto imagen se procede de forma similar:
    Im(T) = {(x, y, z, t) de R4 / existe (x', y', z'): T(x', y', z') = (x, y, z, t)} =
    ={(x, y, z, t) de R4 / existe (x', y', z'): (x' - y', 0, -y' + z', x'- 2z') = (x, y, z, t)},
    luego (x, y, z, t) pertenece a la imagen de T si verifica la igualdad:
    (x-y, 0, -y+z, x-2z) = (x, y, z, t)
    de donde surge el sistema de 4 ecuaciones lineales con incógnitas x', y', z' :
    x' - y' = x
    0 = y
    -y' + z' = z
    x' - 2z' = t
    Aplicamos Gauss-Jordan, analizamos el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada para concluir finalmente que el sistema será compatible si y solo si y = 0; luego
    Im(T)= {(x, y, z, t) e R4 / y = 0}
    nuevamente observamos la ecuación pintada en azul y como estamos en R4 corresponde a la ecuación de un hiperplano.

    Espero que te sea útil, si ha quedado alguna duda puedes preguntar.

    Gracias por visitar el blog y éxitos en el estudio.

  12. Profesor Emanuel // 16 junio, 2009  

    Hola Estimada colega!!!
    Muy bueno el blog, soy profesor de Secundaria y estoy realizando una Licenciatura de Matemática Aplicada en la UNL en condición libre, por lo tanto no tengo la posibilidad de consultar. Me sería de mucha utilidad que me "acercara" material sobre diagonalización pero que incluyan las formas de Jordan.
    Muchas Gracias

  13. Anónimo // 04 julio, 2009  

    buenas horas, soy alumno del I ciclo de ing. de sistemas y computacion de la universidad MOGROVEJO chilayo-perú.
    Necesito de su ayuda en un trabajo sobre "diagonalizacion de valores y vectores propios" si puede explicarmelo mucho mejor, espero su respuesta. o enviarmelo a mi correo:
    victor_it12@hotmail.com
    es importante para mi examén.
    GRACIAS POR SU COMPRENSIÓN !!
    ATTE: VICTOR ANTONIO

  14. Anónimo // 18 julio, 2009  

    hola profe, acabo de ver su blog hoy y me parecio interesante de verdad! la felicito por su blog me parace muy chevere!.... bueno llegando al grano tengo una duda con unos de los ejercicios del primer enlace que usted publico, el ejercico es el siguiente:

    T(P(x))=P(x+1)-P(x)

    mi duda es la siguiente, en la explicacion del ejercicio muestra que en el primer axioma "se cumple" y quisiera saber el porque¿? osea yo supe desarrollar el ejercicio pero llegue hasta ahi y al igual que en segundo axioma tmbn no entiendo el porque elminan los P(x+1) y Q(x+1)¿? y dejan P(x) y Q(x) a que se debe¿? ....

    le agradeceria porfa cuanto antes su respuesta ya que tengo un parcial el lunes y necesito aclarar esa duda!

  15. María Inés Morales // 20 julio, 2009  

    Perdón si la respuesta llega tarde, pero aún puede servir.

    Primero te diré que P(x+1) y Q(x+1) no se eliminan, como mencionas, dejando a P(x) y Q(x); si observas bien [P(x+1) - P(x)] es la imagen mediante T de P(x), luego lo que se hace al pasar de la penúltima línea a la última es reemplazar [P(x+1) - P(x)] por T(P(x)) al igual que con Q(x).

    Quizás lo entiendas mejor si lo resolvemos de la siguiente manera:
    P(x) + Q(x) es otro polinomio en la variable x, digamos,(P + Q)(x), luego:
    T( P(x) + Q(x)) = T((P + Q)(x))
    aplicando al polinomio (P + Q)(x) la función T, se tiene que:
    T((P + Q)(x)) = (P + Q)(x+1) - (P + Q)(x)

    Ahora bien, (P + Q)(x+1) es la suma de los polinomios P(x+1) y Q(x+1) de igual modo (P + Q)(x) es la suma de P(x) y Q(x) por lo que reemplazando en la igualdad anterior:
    T((P + Q)(x)) = P(x+1) + Q(x+1) - [P(x) + Q(x)]
    quitando corchetes y reagrupando:
    T((P + Q)(x)) = [P(x+1) - P(x)] + [Q(x+1) - Q(x)]
    y como ya lo expresé al principio, lo encerrado en el primer corchete del segundo miembro es la imagen mediante T de P(x) y lo encerrado en el segundo corchete es la imagen de Q(x) por lo que:
    T((P + Q)(x)) = T(P(x)) + T(Q(x))
    En forma análoga para probar la segunda condición.

  16. david // 08 septiembre, 2009  

    Hola como estan todos me llamo David , les escribo de BS AS, soy almuno de 1er anio de Ing, y por casualidad encontre este blog de lo poco que he visto hasta ahora parece muy bueno , y si puedo quisiera hacerte un consulta Profe, bueno es un ejercico de una guia que me piden que transforme geometricamente f(x,y)=(x*cos(t)-y*sen(t),x*sen(t)+y*cos(t)) ... una ayudita me caeria bn mil gracias y suerte.

  17. María Inés Morales // 08 septiembre, 2009  

    Hola David y bienvenido al blog.
    La transformación lineal a la que haces referencia es una rotación, en el plano, de un ángulo t, en el sentido antihorario y con centro en el origen de coordenadas.
    En este mismo blog puedes ver los efectos de una transformación lineal de ese tipo.
    En el post:
    Transformaciones Lineales con Matlab
    se observan ejemplos, realizados con Matlab, de algunas tranformaciones lineales en el plano. En el ejemplo 3 puedes observar una rotación de un ángulo de 45º alrededor del origen.
    Puedes aplicarle f a cada vértice de un triángulo, por ejemplo, y luego graficar el triángulo original y su imagen rotada.
    Espero que te sirva
    Saludos

    la profe

  18. Anónimo // 29 septiembre, 2009  

    Hola a todos estoy realizando una nivelacion de matematicas y me piden hallar la dimension del nucleo y de la imagen T. para esto me dan la matriz asocida en la base canonica. el tema es que no se como hallarlos.

    agradezco cualquier luz que men sobre el tema.

  19. María Inés Morales // 29 septiembre, 2009  

    Hola
    Veamos si te puedo ayudar:
    Si la matriz A de m filas y n columnas es la matriz asociada respecto de las bases canónicas de los espacios V y W, de una transformación lineal T: V ---> W, entonces podemos asegurar que:
    i) dim V = n
    ii) dim W = m
    iii) rg(A) = dim ImT (el rango de la matriz A es igual a la dimensión de la imagen)
    Luego, si calculas el rango de la matriz asociada ya obtienes una de las respuestas.
    La otra la puedes calcular empleando el teorema de las dimensiones:
    dim V = dim NT + dim ImT
    La dimensión del espacio de partida es igual a la dimensión del núcleo más la dimensión de la imagen de la transformación lineal.
    Espero haberme hecho entender.

    suerte ;)

  20. Anónimo // 01 octubre, 2009  

    Estimada profesora Maria ines, es ud muy amable en responder tan pronto. No habia podido responder puesto que no habia revisado ya que me encontraba en clases pero estos dias debo dedicarle tiempo practico para terminarlo para el lunes que debo entregarlo.

    el encabezado del ejercicio es:

    sea T: IR^3--> IR^3 la transformacion lineal cuya matriz asociada en la base canonica es

    1 -1 0
    A -1 2 -1
    0 2 1

    entonces calcule su rango es decir hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas. de este modo me dio de rango 2. entonces como
    rg(A) = dim ImT; la dimension de la imagen de T es 2.
    es correcto?

    Por otro lado mi duda es si la dimension del espacio de partida es decir IR^3 es 3? si es asi aplicando el teorema de las dimensiones es fácil ver que la dimension del nucleo debe ser 1 para que se cumpla la igualdad del teorema. ¿ es asi estimada profe o estoy errado?

    no sé si estoy bien.
    de nuevo mil gracias profe.
    PD: ¿como puedo saber si T es invertible?

  21. Anónimo // 01 octubre, 2009  

    Hola gente mi nombre es marco...
    me encontre con este blog y es realmente genial.

    tengo unas inquietudes:
    *en un práctico me piden:

    1. mostrar que si A={(x,y)pertenece IR^2 / X^4 + y^2 <= 2} es compacto.

    2. demostrar que un conjunto

    A c IR es compacto si y solo si toda función continua f: A --> IR es acotada.

    profe pero la verdad este tema me confunde.

    espero me puedas ayudar ya que mañana por la tarde rindo el examen.

    profe para el primero puedo usar el el teorema de heine borel. pero no se como demostrar que el conjunto que nos dan es cerrado y acotado.
    bueno me despido gracias..

  22. María Inés Morales // 05 octubre, 2009  

    Para Anónimo 1º:
    Si pusiste bien los datos en el comentario, cometiste algún error al calcular el rango de la matriz ya que en realidad es 3. Por lo demás tu razonamiento está bien.
    Por otro lado, en el conjunto de matrices nxn, sólo las matrices de rango n son inversibles. En este caso como la matriz presentada tiene rango 3 se tiene que es inversible.
    Saludos y éxitos

  23. María Inés Morales // 05 octubre, 2009  

    Para Anónimo 2º:
    Lamentablemente no puedo ayudarte, en primer lugar por tu urgencia y por mi falta de tiempo.
    Este tema, al no corresponder a Álgebra Lineal, hace un buen tiempo que no lo manejo por lo que tendría que buscar bibliografía y refrescar algunos conceptos, pero son las 1:41 hs y dentro de pocas horas debo ir a trabajar. Si hubiéramos tenido más tiempo te ayudaba, siempre está bueno recordar aquellos contenidos que quedaron muy al fondo del baúl.
    Deseo que tengas éxitos
    Saludos y gracias por visitarnos.

  24. Anónimo // 05 octubre, 2009  

    perdon prfe la matriz en realidad es:

    1 -1 0
    -1 2 -1
    0 -1 1

    asi que al calculra el rango me dio 2.

    y pues segun el teorema:
    * si f es biyectiva <==> dimV=dimW

    entonces en nuestro caso:
    T:IR^3-->IR^3 en donde V=IR^3 y W=IR^3

    entonces la dim de V=3 y dim=W
    entonces T es biyectiva

    y por ser biyectiva es no singular y tiene inversa


    es correcto profe o estoy errado?

    gracias de nuevo...

  25. María Inés Morales // 05 octubre, 2009  

    Hola.
    Ahora si, la matriz que indicas tiene rango 2.
    Gran parte de lo que dices es correcto, pero en algún punto falla tu razonamiento.
    Veamos:

    Si el rango de la matriz es 2, rg(A)=2, se tiene que
    dim(ImT) = rg(A)=2,
    con lo que
    dimImT < dim W,
    luego el conjunto imagen es un subconjunto propio de W, es decir no coincide con W y por lo tanto T no es sobreyectiva. De acuerdo a esto, T no es biyectiva y por lo tanto no admite inversa, luego la matriz dada no es inversible.

  26. Adriana // 05 octubre, 2009  

    Hola profesora! he descubierto este blog buscando ayuda en algebra lineal.Tal vez ud. pueda ayudarme con el sig ejercicio practico:
    me dan una matriz A (1 3
    3 1),
    ya probé que es semejante a una matriz diagonal, ahora me piden hallar P invertible tal que P-1.A.P es diagonal (obs: P-1 es P elevado a la menos uno). la pregunta es ¿ cómo hacerlo?
    Desde ya muchas gracias! Adriana

  27. María Inés Morales // 05 octubre, 2009  

    Hola Adriana
    La matriz P que diagonaliza a una matriz A de orden n (diagonalizable), es tal que sus columnas corresponden a n vectores propios linealmente independientes de A.
    En el caso particular de la matriz:
    A=[1 3
    3 1]
    sus valores propios son -2 y 4.
    Debes calcular el espacio propio correspondiente a cada uno y extraer en cada caso una base, por ejemplo:
    {(-1,1)} correspondiente al espacio propio asociado a -2 y
    {(1,1)} correspondiente al espacio propio asociado a 4.
    La matriz P se forma con estos dos vectores como columnas.
    Luego si realizas el producto (P-1)AP obtendrás la matriz diagonal
    [-2 0
    0 4]

    Espero que me hayas comprendido.
    Saludos

  28. Adriana // 06 octubre, 2009  

    Lo he comprendido muy bien muchas gracias!

  29. sonia // 15 octubre, 2009  

    Hola Profesora: acabo de descubrir este blog buscando información acerca de Transformaciones lineales pero no puedo entrar al enlace 3. Soy estudiante del profesorado de matemática. Me podría indicar cómo soluciono el problema y de esa manera ver el contenido del enlace ya que estoy realizando un pr´ctico de álgebra II y tengo algunas dudas. Gracias. Sonia

  30. María Inés Morales // 15 octubre, 2009  

    Gracias Sonia por avisarme del enlace que no funciona.
    Ya localicé la página (que había cambiado de dirección) y corregí el enlace de manera que ya puedes entrar desde este blog.
    Espero te sea útil y éxitos en tu práctico.

  31. Anónimo // 01 diciembre, 2009  

    hola estoy a dias de dar un exmn y aun no se muy bien como hacer estos 2 problemas

    1:
    T: R4---)R
    T(x,y,z,w) = 2x-y+z

    2:
    T:R2---)M2x2
    T(X,Y) = X X+Y
    0 Y

    Hallar una base y la dimension del nucleo e imagen.
    Les agradeceria mucho si podrian ayudarme

  32. Αλεξανδρος // 03 diciembre, 2009  

    Estimada Inés:

    Tengo un ejercicio simple, pero que necesito ayuda a la hora de "justificarlo".

    Hallar, si existe, una TL que aplique:

    ej a)
    (1,2) -> (1, -1, 0)
    (-1, 1) -> (0, 1, 1)

    ej b)
    (1,2) -> (1,0)
    (-2, 1) -> (1, -1)

    ej c)
    (1, 1, 0) -> (2, 3)
    (1, -1, 1) -> (-1, 0)
    (2, 0, 1) -> (1, -1)

  33. Anónimo // 12 enero, 2010  

    hola ines necesito ayuda con la funcion menores, para saber como resolver lo siguiente:

    1.Escriba una función de MATLAB llamada menores,

    function [y]=menores(A,k)

    que tenga como variables A y k y que devuelva la submatriz cuadrada k × k de la matriz A correspondiente al menor principal de ese orden.


    2.Recuerde que un criterio suficiente para que una matriz A sea definida positiva es que todos sus menores principales sean estrictamente positivos. Modifique la función menores del ejercicio anterior para que devuelva la lista de todos los menores principales de la matriz argumento. Use la función menores para verificar si las matrices

    21 -13 2
    -13 133 14
    2 14 5

    y

    21 -13 -200
    -13 133 14
    -200 14 5


    son definidas positivas.

  34. Anónimo // 27 febrero, 2010  

    hola! tengo una duda con el siguiente ejercicio y queria ver si me pueden ayudar.

    sea t:R4 a R3 una transformacion lineal tal que NuT = ((x,y,z,w)que pertenece a R4: 2x+y-z=0) y T(1,0,1,0) = (1,1,1).
    Hallar la representacion matricial de T en la base canonica y hallar el espacion nulo, nulidad, imagen y rango.

    No se como hacer para sacar las transformacion lineal.

  35. ariadne // 09 abril, 2010  

    hola profesora maria ines morales ... entre a su blog i me parecio muy interesante , es muy bueno ...! ojala en esta ocacion me pudiera ayudar porfavor .
    estudio INgenieria y tengo un problema con un ejercicio : determinar los valores y vectorews propios de una matriz hecha en codigo matlab ...podria usted publikar un ejemplo porfavor...
    gracias por todo ... estamos en contacto.

  36. Anónimo // 08 mayo, 2010  

    hola maestra sebe no la conosco muy bien pero creo q me he enemorado de usted por como es y su forma de pensar bye q le vaya muy bien besos y abrazoz.

    pd. m duele ser un anomino la qiero.

  37. Esteban // 26 mayo, 2010  

    buenas tardes.
    Tengo una consulta, en el tema vectores y valores propios no se como escribir la solucion del siguiente ejercicio.
    X'=(2 1)X
    0 2
    es de multiplicidad 2 y sus valores propios son =2 no se como escribir la solucion ya que al realizar la matriz (a- landa.I)V=0 no llego a una relacion con los elementos del vector, igual sucede al realizar el polinomio completo con W.
    Espero su pronta rspuesta puesto que rindo mañna y este ejercicio lo toman en los finales..
    desde ya muchas gracias

  38. María Inés Morales // 26 mayo, 2010  

    Hola Esteban.
    No me explicas muy bien lo que se te pide. Imagino que se trata de hallar la matriz X (por supuesto que de orden 2)de tal manera que los dos valores propios de X' sean lambda1=lamba2=2.
    Si es así, te sugiero que formes el polinomio característico, que será de segundo grado:
    a lambda^2 + b lambda +c
    y ya que como dato tenemos que las raíces de dicho polinomio tienen multiplicidad 2, se debe igualar a cero el discriminante:
    b^2 - 4ac = 0
    de donde obtendrás una ecuación que relaciona los elementos de la matríz X.(1)
    Por otro lado, como b^2-4ac = 0 y la raíz múltiple es 2 se tiene que
    lambda1 = lamba2 = -b/2a = 2
    de donde surge otra igualdad que vincula los elementos de X (2)

    (1)y(2)forman un sistema que describen las relaciones entre los elementos de la matriz solicitada.
    Espero que te sea útil y gracias por visitarnos.

  39. Anónimo // 06 agosto, 2010  

    Como está prof mi Nombre Es Nere. En Realidad Ya Terminó Mi Curso, Fuí La Tercera Nota, Pasaron Cuatro,Estoy Estudiando La Especialidad De Matemética (DOCENTE) eN lA Última Prueba Me Caí En El Sgte Ejercicio:
    SEA S={V1, V2, V3} UN CONJUNTO DE VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTE ¿ES M={B1, B2, B3} LINEALMENTE DEPENDIENTE Ó INDEPENDIENTE, SIENDO QUE B1=V1 + 2 V2, B2=V1 + 3 V3 y B3=3 V2 + 2 V3 ???
    Sé Q No Es Difícil Pero No Sé Porqué No Logro Acomodar El Sistema De Ecuaciones De Manera Tal q Pueda Encontrar Posibles Valores Distintos De Cero Para Los Escalares y Determinar La Independencia Lineal. MuchasGracias Se Lo Agradezco

  40. Anónimo // 07 agosto, 2010  

    cómo está prof es nere otra vez , bueno aunque no lo crea resolví el ejercicio practicamente dormida... le agradezco de todos modos. Aquí está la respuesta para los interesados:
    SE DEBE BUSCAR ESCALARES
    A1, A2, A3
    DE MANERA QUE MULTIPLICADOS POR
    B1, B2,B3
    SEAN IGUALES A CERO:
    A1 (B1) + A2 (B2) + A3 (B3)= O
    SE SUSTITUYEN LOS VALORES DE
    B1, B2, B3
    Y QUEDA
    A1(v1+2 v2) + A2(v1+3 v3)+A3(3 v2+2 v3)= 0
    SE DISTRIBUYE Y LUEGO SE SACAN LOS VECTORES COMO FACTOR COMÚN - COMO, POR HIPÓTESIS ESOS VECTORES DADOS SON LINEALMENTE INDEPENDIENTES , ENTONCES -NO EXISTE NINGUN VALOR PARA A1, A2, A3 DISTITOS DE CERO QUE CUMPLA LA IGUALDAD . POR LO TANTO M ES LINEALMENTE INDEPENDIENTE
    bueno muchas gracias de todos modos.

  41. Anónimo // 29 octubre, 2010  

    no entiendo esto
    Determina P(x)+ Q(x).

    P(x)x2+x+1

  42. María Inés Morales // 29 octubre, 2010  

    Hola Anónimo. Yo tampoco lo entiendo,me parece que tienes incompleta la consigna.
    Saludos

  43. Anónimo // 28 diciembre, 2010  

    hola disculpa me puedes ayudar con un ejercicio de transformaciones lineales no entiendo que hay que hacer gracias de antemano dice lo siguiente:
    trazar la imagen del cuadrado unitario cuyos vertices
    son los puntos (0,0),(1,0),(1,1),(0,1) bajo la transformacion lineal dada.
    a) f es una reflexion del eje x.
    b) f es una reflexion en la recta y=x
    c)f es la contraccion f((x,y))=(x/2,y)

  44. Anónimo // 08 marzo, 2011  

    Buenas Tardes me pueden ayudar por favor con este problema
    Sea V un espacio vectorial y sea T: V--->V definida por T(v) = 3v
    Hallar el nucleo de T y la imagen de T
    Muchisimas GRacias

  45. Yanina // 08 marzo, 2011  

    Hola, muy buen blog, les escribo porque queria saber si me pueden ayudar con un ejercicio, se trata de una transformacion lineal r3 hacia r2x2:{(x1, x2, x3)/([x1 x3 -1ºfila- x2 x1-x3 -2ºfila-]} y se me pide
    1- caracterización
    2- base para I(F) [imagen de la transformación)
    3- rango y nulidad
    lo que mas me urge es saber como se hace para obtener la base I(F), desde ya muchas gracias :)

  46. wilder valeriano // 25 octubre, 2011  

    yo creo que para que se TRANSFORMACION LINEAL deve cumplirse que:
    si damos dos espacios vectoriales V y W y una TRANSFORMACION LINEAL T, se dice que es lineal, si y solo si,se cumple esto:
    T(av+w)=aT(v)+T(w) donde v,w pertenecen a V,a pertenece al campo

  47. María Inés Morales // 25 octubre, 2011  

    Hola Wilder
    La condición que mencionas para que T : V----> W sea una transformación lineal
    "T(av+w)=aT(v)+T(w) donde v,w pertenecen a V,a pertenece al campo de escalares"
    es equivalente a las dos condiciones dadas en los comentarios anteriores:
    "T(u+v)= T(u)+T(v) con u, v elementos de V
    T(au)=aT(u), con u elemento de V y a perteneciente al campo de escalares".

    Saludos ;D

  48. Anónimo // 04 diciembre, 2011  

    Hola profesora me gustaria saber donde encuentro ejercicios resueltos de epimorfismo homomorfismo isomorfismo plis ayudeme mañana es mi examen ysolo necesito 5

  49. Anónimo // 14 diciembre, 2011  

    Hola tengo una gran duda ojala me la podais responder y es que no se hacer este ejercicio:Sea P n (R) el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a n con
    coeficientes en R y en la indeterminada x. Definimos f: P2(R) A P3(R)
    mediante
    f(p(x)) = ∫ p(x)d(x) + 2p'(x)
    Se pide:
    i) Estudiar si f es una aplicación lineal.
    ii) Calcular la expresión matricial de f respecto de las bases
    B = {x2 – 1, 3 – x2 , x
    – 2} de P2(x) y
    B’ = {x3 + 2x, x2 – x , x + 1, x2 – 2} de P3(x).
    iii) Calcular el núcleo y la imagen de f. Clasificar f.

  50. Anónimo // 09 enero, 2012  

    yo quisiera q me ayuden con un ejercicio aki se los planteo y me explican si se puede o no:
    a)Construya de ser posible una transformacion lineal de P1 en Matrices 2x2 talque: T(1-x)=(1 0)
    (1 0) =>una matriz
    y T(2)=(1 1)
    (0 -1) la respuesta envienla a mi correo se les agradece andru5020@hotmail.com

  51. Anónimo // 11 julio, 2012  

    Pofe..buen dia! :) aqui tenemos una dudita..en matlab suponemos que savemos que la matriz es inyectiva..pero no savemos como sacar la dimension de el "NUCLEO" y tampoco saber si es sobreyectiva...
    -----------------------------------
    Ingrese los valores de la matriz A:
    [6,-2;29/2,-7]

    A =

    6 -2
    29/2 -7

    Esta es la matriz A
    Rango:

    filas =

    2


    columnas =

    2

    Dimension

    ans =

    4


    N =

    0
    0


    GJ =

    6 -2 0
    29/2 -7 0


    CL =

    1 0 0
    0 1 0


    B =

    1 0
    0 1

    Es inyectiva
    fila = del nucleo

    2


    columna =

    2
    AYUDAAAAAAAAAAAAAAAAAAA!! :'(

  52. María Inés Morales // 11 julio, 2012  

    Hola. Veamos si puedo ayudarlos, pero antes algunas correcciones:
    1º no es una característica de las matrices ser o no ser inyectivas.
    2º "sabemos"
    3º Se pide que para una matriz, ingresada desde teclado, asociada a una transformación lineal el programa indique si dicha transformación lineal es inyectiva y/o sobreyectiva; por lo tanto no se "supone" ni se "sabe" que es inyectiva.

    Una ayuda: Si A es la matriz asociada a T: V-->W respecto de las bases canónicas entonces T(X)=AX para todo X de V; por otra parte el núcleo de T está formado por todos los X de V que satisfacen T(X)=0w o lo que es lo mismo AX = 0w. Dicho de otra manera, determinar el núcleo de T es lo mismo que hallar el conjunto solución del sistema homogéneo AX = 0w. Teniendo en cuenta esto y trabajando con las dimensiones del núcleo y de la imagen, el algoritmo sale fácil.
    Espero les sirva, pregunten ante cualquier duda
    Éxitos

  53. Anónimo // 12 julio, 2012  

    Hola profe :) Tengo una duda mas. Cuando se refiere a hallar el conjunto solución del sistema homogéneo AX = 0w. AX seria nuestra matriz asociada por una matriz columna de variables [x;y;z]( dependiendo de la dimensión)?? Y en caso de ser una matriz columna de variables, debería ingresarla con un "input"? U otro comando?. Desde ya muchas gracias por la ayuda ayuda :)

  54. María Inés Morales // 12 julio, 2012  

    No.
    AX es una matriz columna en la cual aparecen las variables x, y, z, pero no es la matriz que tienes que analizar.
    Como el núcleo de la transformación lineal T es igual al conjunto solución del sistema AX = 0w y lo que interesa es saber si este sistema es o no determinado, la matriz que debes analizar es A (es decir la matriz asociada a T ) que por supuesto no tiene variables.
    Cualquier duda, aquí estamos ;)

  55. Anónimo // 29 agosto, 2012  

    hola necesito saber un concepto básico de transformación lineal?, que es isomorfismo? y que es isometria? y sugerencias para realizar un ejercicio se transformacion lineal (osea que metodos puedo utilizar para resolver el ejercicio)
    Les agradecería un montón ;)

  56. Anónimo // 24 diciembre, 2012  

    porfa ayudame con este ejercicios
    trazar la imagen del cuadrado unitario cuyos vertices son los puntos (0,0)(1,0)(1,1)y(0,1) bajo la transformacion lineal dada
    f((x,y))=(x+2y,y)



    porfa vor ayudame es un deber muy importante para pasar el semestre

  57. Anónimo // 29 enero, 2013  

    Saludos MI
    ¿Estas disponible en tú Blog?

    Gracias

  58. Anónimo // 28 enero, 2014  

    Muy Buenas Tardes Prof. Espero Una Pronta Ayuda Para Una Expo que tego sobre tranformadas Lineales.

    Necesito Alguen Ejercicio Resuleto o De alguna manera detallado que se a de gran facilidad de entender, tengo dificulta para entender ese material y aun nuestra profe no a bajado esa informacion.

    Ejercicios O Teoremas A Aplicar Sobre: Imagen, rango y Nuecleo.
    Valores y Vectores propios.
    Matriz Simetrica & Ortogonal.

    By: Orangel lacle